Des maths (mais pas seulement) pour mes élèves (et les autres).

jeudi 30 janvier 2014

L'infini, c'est pas un 8 qui dort.

C'est mon précédent post: quatre de mes élèves arboraient aujourd'hui un bracelet avec un infini.

Alors je me suis posé la question: mais au fait, pourquoi ce symbole?
Quelques élèves m'ont proposé des réponses:
- c'est le ruban de Möbius qui a donné le symbole
- c'est un huit allongé, parce que le huit on le parcourt sans fin
- c'est parce qu'on avait utilisé tous les autres symboles pour les nombres, on n'a trouvé que celui-là
Qu'en est-il ?

Hé bien d'abord, il porte un nom, le "symbole de l'infini": c'est une lemniscate. Lemniscus est le mot latin signifiant ruban et vient lui-même du grec ancien (λημνισκος).
La définition de Wikipédia:
Une lemniscate est une courbe plane ayant la forme d'un 8. Elle possède deux axes de symétrie perpendiculaires. Ceux-ci se coupent en un point double de la courbe, également son centre de symétrie.

Son apparition, ensuite. Au IIIème siècle avant J.C., les Romains utilisaient la forme ↀ pour signifier 1000, avant d'être progressivement remplacée par le symbole M. La forme ↀ, elle, aurait évolué pour exprimer un grand nombre, puis un nombre grand et inconnu (comme dans l'expression "des cents et des mille").  
C'est à John Wallis (c'est lui, juste à droite), en 1665, que revient l'introduction de notre actuel symbole pour l'infini, dans son Arithmetica Infinitorium. Puis Bernoulli décrit mathématiquement la lemniscate en 1713; la notation d'infini est définitivement adoptée.

Voilà. Pas de lien avec le chiffre 8, ni avec le ruban de Möbius, même si ledit ruban peut être effectivement parcouru à l'infini "sans jamais changer de face".
Le ruban de Möbius, par Escher

Un ruban de Möbius, en vrai.


Les filles de 5ème1 ont la math'attitude

La preuve:

Ca y est les filles, vous êtes des stars! ;-)

mercredi 29 janvier 2014

Cinémaths ou mathémaniac?


Lu sur le blog de Jozef Siroka: peut-on réduire le cinéma à une formule mathématique ?
Le cinéma, domaine de la création, de l’intuition, du beau, du vrai, bref, de l’art, peut-il être déterminé, voire amélioré, par la science mathématique ? La tendance est de plus en plus lourde dans l’industrie américaine, et se décline sous diverses approches.

Dans la suite de son post, Jozeph Siroka explique que des études statistiques et des analyses algorithmiques "mesurent" la viabilité financière de scénarios. Evidemment, l'idée suscite des réactions de la part d'auteurs: 
" C’est mon plus grand cauchemar. C’est l’ennemi de la créativité, rien de plus qu’une tentative d’imiter ce qui a marché par le passé. Ça ne peut que donner lieu à une homogénéisation de plus en plus fade, à une ruée pêle-mêle vers la modération." (l'auteur du scénario de The Best Exotic Marigold Hotel).
Le montage, ensuite : les films à succès répondraient tous à un modèle mathématique similaire à celui qui définit les capacités d’attention des spectateurs.
Enfin, une autre étude aurait permis d'établir un modèle mesurant la capacité pour un film à obtenir des récompenses. Modèle qui, semble-t-il, ne fonctionne pas pour toutes les catégories de récompenses.
Tout ceci me semble artificiel et assez ridicule (pas l'article, hein, mais ce qu'il décrit). En fait, cela fait longtemps que dans l'industrie en général, on essaie de prévoir et que pour cela on évalue en s'appuyant sur des indices, avant de se lancer dans la production. Vu les sommes engagées dans l'industrie cinématographique, il semble logique de chercher à mesurer le succès d'un film avant de se lancer dans sa réalisation. La différence vient de "l'emballage" mathématique : vise-t-il à donner une soi-disant rigueur ? A se réfugier derrière des calculs pour dire non ? A faire parler sur les blogs? ;-)
Encore une fois, ce n'est pas la nature mathématique de l'outil utilisé qui le rend légitime. C'est la façon dont on l'a construit, son degré d'adaptation au problème, la façon dont il est utilisé, sa pérennité. Et aucune formule n'est magique. L'imagination et l'intelligence des hommes, parfois si.

La guerre des chiffres a bien eu lieu

En écho au post précédent:

mardi 28 janvier 2014

La guerre des chiffres

Aujourd'hui en classe de sixième, "calcul astucieux". J'explique comment calculer sans se faire mal à la tête ce genre de choses :
Mine de rien, on fait passer des notions assez fondamentales et pas évidentes pour les élèves. Et comme ils s'intéressent et ont des questions, tout vient d'eux :
- " On peut multiplier plus de deux nombres ??? Mais comment on va faire madame ??? "
- " On peut déplacer les termes d'une addition comme on veut ? C'est pratique ! "
- " Ca marche aussi avec une multiplication de ranger comme on veut ? "
- " Si j'ai bien tout compris la soustraction n'est pas comment vous dites, heu, communautaire ? " (non, commutative)
- " C'est rigolo, l'addition est commutative mais pas la soustraction, et la multiplication est commutative mais pas la division. Ca se ressemble. "

Forcément, on y passe du temps : pour répondre à chacun, pour approfondir (pourquoi puis-je réorganiser dans une addition et pas dans une soustraction ? Pourquoi  "ça se ressemble" ? Pourquoi associer intuitivement addition et soustraction d'une part, multiplication et division d'autre part ?).
Je me suis encore bien amusée. J'ai félicité, aussi. De poser toutes ces questions. Pas des questions à la noix qui font "gagner du temps" et se rapprocher de la sonnerie sans écrire de leçon, mais des questions qui font qu'on comprend ce que l'on fait.

Parce qu'appliquer sans comprendre, c'est mal. Si je veux maîtriser ma vie et décider moi-même, je dois avoir compris. 

De réponses en discussions philosophiques, j'en arrive à ce calcul-ci:
Les élèves tombent dans le panneau, et commencent à calculer. Puis ils remarquent le zéro et rigolent. Ok, pas besoin de calculer, tsss. J'explique que pour la multiplication zéro est l'élément "absorbant", alors que pas pour l'addition. Je mime et je bruite l'absorption de zéro sur les autres facteurs. J'ai dit, écrit, mimé, théoriquement tout le monde a dû y trouver son compte. C'est important, car en troisième et au lycée, c'est d'avoir compris cela qui donnera du sens aux résolutions d'équations produits.


Et puis, un peu avant, nous avions corrigé un carré magique dans lequel il fallait trouver un nombre qui, multiplié par 216, donnait 216. D'abord la proposition "zéro ! " avait fusé, puis celle du nombre 1. Nous avions discuté alors du rôle du 1 dans la multiplication : 1 est élément neutre pour la multiplication.

J'en arrive à ma chute. En fin de séance, un élève qui réfléchit beaucoup, très probablement kinesthésique, dont les pensées filent à toute allure et qui a la tête pleiiiine de questions, vient me voir :
" En fait madame tout ça c'est logique, parce que la multiplication c'est un combat et le 1 n'y prend pas part, alors que le 0, il se jette dans la bagarre et après lui il n'y a plus rien, il a tout absorbé, le 0. Comme dans la BD que vous nous avez montrée."


Elles me plaisent beaucoup, les idées de L. , parce qu'il ressent ce que je lui explique. Et il se l'approprie, rien que pour lui. Et ensuite il parvient à concilier mes énoncés mathématiques et sa perception des choses, avec fantaisie et imagination.

La méchante table de 7

La table de 7 n'est pas populaire. Difficile à apprendre, elle résiste souvent aux écoliers.
Autre source d'impopularité pour le 7 : les critères de divisibilité. Les élèves connaissant des critères de divisibilité pour 2 (le chiffre des unités est pair), 3 (la somme des chiffres est multiple de 3), 4 (les deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4), par 5 (le chiffre des unités est 0 ou 5), par 6 (on applique les critères par 2 et par 3), par 9 (la somme des chiffres est multiple de 9) et par 10. 8 est aussi un oublié de la liste, mais on lui pardonne car il est pair, faut-il croire.

Et pourtant, le chiffre 7 est le chiffre le plus fréquemment cité par les élèves lorsqu'on les interroge sur leur "chiffre préféré". Etrange...
En tout cas, il existe un critère de divisibilité par 7:
  • On supprime le chiffre des unités du nombre considéré.
  • On obtient un nouveau nombre, auquel on retranche le double du chiffre des unités que l'on vient de supprimer. 
  • Le nombre de départ est divisible par 7 si la différence que l'on vient de calculer l'est aussi.
Un exemple?

 Prenons un exemple simple: 777.
Manifestement, 777 est divisible par 7 car 777=7x111. Pas besoin de critère pour ça, mais essayons de le faire fonctionner:
  • Je zappe les unités. J'obtiens 77.
  • J'effectue ma soustraction: 77 - le double de 7, soit 77 - 14, ce qui donne 63.
  • 63 est dans la table de 7 (c'est 7x9), donc 777 est aussi multiple de 7.
Bien sûr, la méthode n'a d'intérêt que si le nombre de départ est suffisamment grand, mais pas trop. Mais ça, c'est le cas pour tous les critères de divisibilité.

Pour se réconcilier avec le nombre 7 (ou pas, vous faites comme vous voulez après tout!), voici un documentaire diffusé sur Arte sur ce chiffre:

lundi 27 janvier 2014

Espèce d' acutangle !

Dans la catégorie mots bizarres, je viens de découvrir le mot acutangle dans une animation du site Brainpop. La définition du mot est simple :

Se dit d'un triangle dont les trois angles sont aigus.


On y apprend aussi (si on l'ignorait, ce qui était mon cas) que le mot obtusangle (on peut dire aussi amblygone, j'aime bien aussi) existe également. Attention, même si le mot semble "transparent", méfiance : obtusangle ne signifie pas, par symétrie à acutangle, "se dit d'un triangle qui dont les trois angles sont obtus". En effet, en géométrie euclidienne en tout cas, un triangle ne peut posséder qu'un seul angle obtus : la somme de ses trois angles est égale à 180°. Il ne peut donc pas avoir trois angles obtus, ni même deux, puisqu'un angle obtus a une mesure supérieure à 90°.



En revanche, cette même vidéo me fait m'interroger: il y est dit, par exemple, que triangle quelconque ou triangle scalène ont la même signification. Je ne comprends pas les mots de cette façon : pour moi un triangle scalène est un triangle dont les trois côtés ont des mesures différentes alors qu'un triangle quelconque est un triangle sans obligation de propriété remarquable, mais qui peut en posséder : c'est un triangle "n'importe comment", qui peut donc aussi être isocèle ou équilatéral.
Ainsi, dans le sens dans lequel j'entends les mots, un triangle scalène est aussi quelconque alors qu'un triangle quelconque n'est pas forcément scalène. Mais peut-être ai-je tort. Cette distinction me semble pratique car parfois dans mes énoncés j'accepte un triangle quelconque, et parfois il faut qu'il soit scalène pour avoir de l'intérêt.

Enfin, j'ai aussi appris un sens que j'ignorais du mot "congru": dans un triangle isocèle, deux côtés sont congrus. Dans un triangle équilatéral, trois côtés sont congrus. Ainsi, "congru" se dit de côtés ou d'angles qui ont la même mesure, ou de figures identiques (même forme, même taille, mais dont la position n'est pas forcément la même). Des triangles isométriques sont congrus, par exemple. Je ne connaissais le mot congru que pour les mesures d'angles et l'arithmétique, pas pour les côtés.

dimanche 26 janvier 2014

Tic, tac, tic, tac


Question d'élève : pourquoi  une heure dure-t-elle soixante minutes et pas cent, ce qui serait quand même rudement plus pratique pour les calculs.

Remontons le temps, puisque c'est de temps qu'il s'agit. 5000 ans en arrière, et nous allons faire un tour chez les Babyloniens (en Irak). 

Un petit rappel tout d'abord, sinon je sens que T., E. ou J. vont me poser la question: l'année est définie par le temps que met la Terre pour faire un tour complet autour du Soleil. La journée est définie par le temps que met la Terre pour faire un tour autour d'elle-même. Comme la Terre tourne environ 365 fois et un quart autour d'elle-même en même temps qu'elle effectue un tour complet de Soleil, l'année dure 365 jours trois années de suite puis 366 la quatrième année, pour "rattraper" les quarts de jour "perdus" (je résume).

A Babylone comme aujourd'hui dans mes classes, on compte sur ses doigts. Mais pas comme nous, de un à dix. On compte en touchant chacune de ses phalanges avec le pouce. Et comme la plupart du temps nous avons quatre doigts constitués de trois phalanges, plus le pouce, cela amène à compter en base douze. Douze heures de jour, douze heures de nuit, vingt-quatre heures puisqu'on a deux mains, douze mois dans l'année, douze constellations principales (correspondant aux douze signes zodiacaux).


Pourquoi ce choix de douze ? En dehors du fait qu'il est simple à utiliser avec ses mains (comme notre système), le nombre douze a pour avantage d'être divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12 (alors que 10 est divisible par 1, 2, 5 et 10 "seulement"). Si on compte en base douze, 12, 24, 60, 360 sont des nombres pratiques, au même titre que 10, 100 ou 1000 pour nous :
  • 12=12x1 
  • 24=12x2
  • 60=12x5
  • 360=12x30

On choisit donc le nombre 60 pour plusieurs raisons : 60 est multiple de 12 et 60 minutes (pour une heure) se décomposent en fraction d'heure facilement: 60 est divisible par 1 (oui, bof, d'accord), 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60 (bof aussi, mais les autres diviseurs, c'est pratique!). On peut donc parler de demi-heure, de quart d'heure, de cinquième d'heure et tout et tout.

Le lien avec 360 est pratique : les Babyloniens avaient observé qu'il s'écoulait à peu près 360 jours avant que le cycle des saisons et celui des constellations ne recommence. On pouvait donc représenter l'année en un disque, divisé en 360 secteurs (d'où 360 degrés).


Notons d'ailleurs que quelques essais de découpage du temps différents ont été tentés, avec des grades, des 100 minutes et des 100 secondes. Mais ils ont été bien vite abandonnés car leur application a posé des problèmes.

 J'entends déjà T. ou E. me rétorquer : bah d'accord pour les divisions de temps en 12, en 24 ou en 60, multiples de 12. Mais alors pourquoi 7 jours ? Ce n'est pas dans la table de 12, le nombre 7.


Certes. Mais là, les Babyloniens ont procédé autrement : ils ont découpé la semaine en autant d'astres qu'ils parvenaient à observer: 
le Soleil, la Lune, Mars, Mercure, Jupiter, Vénus et Saturne. Nous avons d'ailleurs conservé cette idée :

  • Lundi : jour de la Lune
  • Mardi : jour de la planète Mars
  • Mercredi : jour de la planète Mercure
  • Jeudi : jour de la planète Jupiter
  • Vendredi : jour de la planète Vénus
  • Samedi : jour de la planète Saturne
  • Dimanche : jour du Soleil

    Ce qui est rigolo, c'est qu'on aurait pu allonger les semaines au fur et à mesure des découvertes astronomiques : une semaine aurait duré jusqu'à dix jours avant de revenir à neuf avec le "déclassement" de Pluton.

samedi 25 janvier 2014

Les mathématiques c'est (aussi) dynamique!

Grâce à un commentaire de monsieur Roland Dassonval à la suite de mon post sur Curvica, j'ai pu découvrir son site. On y trouve de belles animations flash sur des thèmes très variés, et des outils pour utiliser GeoGebra.
Son animation sur Curvica est vraiment extra (pour réviser en vue de l'évaluation de la semaine prochaine, c'est parfait), mais bien d'autres, après seulement un tour rapide du sommaire, vont me permettre d'enrichir les leçons en les projetant et en faisant manipuler les élèves. Ce pourrait bien être enfin un moyen intéressant d'utiliser le tableau interactif ! Mon seul souci est que je ne suis pas sûre que ces animations se lancent sur l'ordinateur de ma classe, qui est assez chatouilleux du flash...
On trouve aussi sur le site de monsieur Dassonval des entraînements pour tous les niveaux: ici, c'est pour les cinquièmes (cela vous aidera pour vendredi).

Et enfin, un exemple pour tout le monde, puisque ces temps-ci nous parlons beaucoup conjecture et démonstration:


jeudi 23 janvier 2014

L'unité secrète qu'a pas d'nom

Question du jour posée par un élève : pourquoi y a -t-il une case vide entre kilogramme et quintal?

Ah ben oui tiens, pourquoi?

En 1795, on définit le gramme comme la masse d'un centimètre cube d'eau à 4°C. Ainsi, le kilogramme (initialement nommé le grave) est la masse d'un litre d'eau à cette même température.

Et là, à coup de préfixes, on définit des multiples et sous-multiples. Nous en utilisons beaucoup (les milligrammes, les hectogrammes, etc.), mais en voici qui sont moins usuels:

  • 1 mégagramme (Mg) = 1 000 kg (tiens, la tonne!);
  • 1 milligramme (mg) = 0,000 001 kg ;
  • 1 myriogramme (mog) = 0,000 000 1 kg ;
  • 1 gigagramme (Gg) : 1 Gg = 1 000 000 kg ;
  • 1 téragramme (Tg) : 1 Tg = 1 000 000 000 kg ;
  • Et aussi le pétagramme, l'exagramme, le zettagramme, le yottagramme...

Mais il en manque un (au moins, et c'est celui qui nous intéresse? Alors voici la star du jour: 
le myriagramme (mag), qui vaut 10kg.


Elle existe donc, cette unité. Elle a un petit nom. Ouf.


A noter également, des quintaux, il en existe de différentes sortes:
  • le quintal métrique : 1 q = 100 kg ; 1 kg = 0,01 q ;
  • le quintal français ancien : 48,951 kg environ ou avec
  • le quintal court d'Amérique du Nord : 45,359 kg environ ou avec
  • le quintal long du système impérial anglais : 50,802 kg environ.

"Quintal" et "tonne" détonnent donc dans le monde terriblement prévisible des unités. Sans doute ces mots ont-ils été créés pour répondre à une demande concrète, commerciale par exemple. De même, il est plus pratique de parler d'"hectares" que d'hectomètres au carré". On peut supposer que personne n'a eu besoin d'inventer un mot pour manipuler facilement des dizaines de kilogrammes.

Cookies, maths et amitié

Jeudi, midi trente. Des élèves joyeux, qui cherchent, se trompent, recommencent et trouvent. Qui découvrent, demandent à aller plus loin encore, échangent et discutent méthode, résultat et efficacité.
Et puis ma prof de SVT préférée qui vient jouer avec nous, nous amène des cookies délicieux cuisinés par sa fille, et qui me demande pourquoi un nombre dont la somme des chiffres est multiple de trois est lui même multiple de trois. Et le critère de divisibilité par neuf? Et puis par onze?


Le bonheur.

I will deriiiiiiiiiive hey hey

Une petite perle dont je ne me lasse pas:

 

J'ai essayé de traduire les paroles, mais ce doit être très approximatif (j'ai calé sur une phrase pour laquelle j'ai une hésitation d'interprétation d'ailleurs). N'hésitez pas à me proposer des améliorations ou des corrections!


mardi 21 janvier 2014

La trigo en "chanson" (et en anglais)

C'est notre prochain chapitre en troisième... Et NON, je ne chanterai pas.

Des dés 20 au devin

Avec une pensée spéciale pour mes troisièmes, qui ont si bien lancé des dés ( à 4, 6, 8, 10, 12 ou 20 faces), des bouchons, des punaises, des piques à brochette et des pièces... Et qui sont restés sur leur faim, puisque je suis garde-malade pour un temps.


Les mathématiques c'est poétique

"M'dame, les maths ça craint pis d'abord ça sert à rien."

Non non non, mon garçon. Reformule, s'il te plaît.

"J'étais alors en proie à la mathématique.
Temps sombre ! enfant ému du frisson poétique
On me livrait tout vif aux chiffres, noirs bourreaux
On me faisait de force ingurgiter l'algèbre
On me tordait depuis les ailes jusqu'au bec
Sur l'affreux chevalet des x et des y
Hélas, on me fourrait sous les os maxillaires
Le théorème orné de tous ses corollaires."

Aaaaah, c'est mieux, Victor. Beaucoup mieux.

Victor Hugo

lundi 20 janvier 2014

Math look

Voici une boutique qui vend des tas et des tas d'objets mathématiques. C'est rigolo, mais vraiment cher, dommage.


Pour réviser

Voici la fiche de révisions de l'évaluation de mardi 28 janvier pour les classes de sixièmes. Il nous reste quelques exercices à traiter, qui le seront d'ici jeudi au plus tard.



dimanche 19 janvier 2014

Un site pour aider les enfants autistes en classe

Le petit roi est le site d'un parent d'enfant autiste, qui élabore des fiches d'apprentissage pour aider son enfant à avancer dans sa scolarité. On y trouve une grande quantité d'outils qui m'ont semblé intéressants et faciles à utiliser. Je compte utiliser certaines de ces fiches pour un de mes élèves, autiste et intégré à temps plein dans une classe. Et sans doute aussi pour d'autres enfants de la classe, d'ailleurs.

La complexité des simplifications

Simplifier une fraction, c'est quoi? Voici des exemples de propositions issues de différents cours:
  • " Définition : simplifier une fraction, c'est la transformer en une fraction égale mais dont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits possibles. "
  • " Règle : si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre non nul, alors on obtient une fraction égale. On utilise cette règle pour simplifier les fractions. "
  • " Définition : simplifier une fraction, c'est factoriser son numérateur et son dénominateur par leur PGCD. "
  • " Simplifier une fraction, c'est écrire cette fraction avec des plus petits nombres. 
Ces propositions montrent bien comme il est délicat de résumer en peu de mots l'idée toute simple de simplification de fractions. Je ne m'y risquerai par moi-même: en classe, on dialogue, on questionne, on reformule et on illustre, et tout est bien plus facile que si on doit élaborer un cours écrit qui se suffise à lui-même, pour des enfants de fin de primaire ou de début de collège.

Mais en attendant, j'ai un problème:

Extrait d'une copie de 3ème:

Il est tout de même frappant qu'un élève de troisième puisse parvenir à ce niveau sans avoir compris que simplifier une fraction passe par la division. Cet élève, dont le reste de la copie témoigne de beaucoup de bonne volonté, simplifie au sens de " écrire moins de chiffres ". Il reproduit un schéma classique : je barre en haut un chiffre, je barre le même en bas. Et il applique, croyant bien faire, mais n'a pas compris.

Comme c'est une copie anonymée, je n'ai pas pu discuter avec l'élève qui a écrit cette égalité. C'est dommage, car j'aurais aimé qu'il m'explique quel schéma il a suivi, quel degré de foi en sa démarche il avait. Je suppose qu'il sait que 268 et 2x6x8 ne représentent pas le même nombre. C'est plutôt le sens de la simplification qui est à reprendre, et peut-être avant cela la signification de la fraction. Difficile de réaliser ces objectifs sous forme d'annotations sur une copie.

C'est en tout cas une nouvelle preuve, s'il en était besoin, qu'apprendre sans comprendre est totalement absurde et que les "recettes" mécaniques sont nuisibles (du style "tu passes de l'autre côté, tu changes de signe" ou "tu multiplies par 100 donc tu décales la virgule deux fois"). Mais revenir toujours au sens demande beaucoup de rigueur, de la part des profs et des élèves. Ce n'est pas reposant.

Cela me rappelle enfin une conversation récente avec une élève de seconde, qui réussit bien en mathématiques du point de vue chiffré. Cette jeune fille, dotée pourtant d'un caractère bien trempé, me répond, à la question " D'accord, mais pourquoi fais-tu ça dans ton calcul? " : " Parce que la prof elle veut qu'on fasse comme ça... " puis, vaguement agacée : " Chais pas, moi, il y a une raison en fait? ".

Oui. Il y a une raison. Toujours.

La culture au détour des toilettes


Il y a quelques années, nous revenions de vacances avec ma famille lorsqu'il fallut de façon impérieuse une pause pipi. C'est chose courante, lorsqu'on ballade sa progéniture, et il faut bien se plier aux lois de la Nature.
Nous nous arrêtâmes donc, en la belle ville de Chartres, dotées de sanitaires adaptés à notre situation.
C'est en sortant des toilettes que nous remarquâmes que nous étions garés juste devant un genre de halle ou de marché couvert qui abritait une exposition. Sur l'affiche: OuLiPo (Ouvroir de Littérature Potentielle). Nous entrâmes, car nous ne connaissions pas bien ce mouvement.

Bon, trêve de plaisanterie, ce jour-là j'ai vu des oeuvres qui m'ont surprise, amusée ou intriguée. Et d'autres qui m'ont laissée totalement indifférente ou franchement perplexe. Mais j'ai perçu la richesse de l'OuLiPo, ce dont mon peu de connaissances m'avait privée. J'ai aussi compris que l'OuLiPo ne se résume pas, il s'explore.

Et dans l'OuLiPo, on trouve aussi des maths. Et pour cause : parmi les membres fondateurs du mouvement, on compte des amateurs de maths, et même un mathématicien.


Conte à votre façon, Raymond Queneau:















A ce sujet, vous trouverez ici un article de Michèle Audin, vraiment intéressant et accessible.

Sur l'éπque πste de π

Un parent d'élève m'a transmis il y a quelque temps un article sur le nombre pi, écrit par Joël Berger pour l'Académie des Sciences, Belles Lettres et Arts de Besançon et de Franche-Comté et datant du 24 septembre 2012.

On y apprend que la notation pi date du XVIIIème siècle (et pas du tout des Grecs de l'Antiquité donc). La lettre grecque aurait été choisie par référence à la première lettre du mot périmètre et adoptée définitivement après son utilisation par Leonhard Euler dans son " Introduction à l'analyse infinitésimale ".

La première partie de l'article suit la piste de pi. On traverse toute l'histoire des mathématiques : de Babylone en 2000 avant JC, on passe par l'Egypte, et pi voyage en Chine, en Inde, au Moyen Orient, en Afrique et en Europe. L'auteur cite même un passage de la Bible (voir aussi ici)  qui attribuerait à pi la valeur 3.

La deuxième partie de l'article pose une question que j'ai souvent entendue en classe: " quel sens y a-t-il à calculer pi dans des propositions aussi absurdes a priori ? "
Aucune sur le plan pratique : " Avec 39 chiffres après la virgule, on peut calculer, au rayon d'un atome de H2 près, la circonférence d'un cercle qui embrasserait la totalité de l'univers connu ".
Pourquoi alors? Plusieurs réponses sont apportées par monsieur Berger : pour l'amour des records, pour répondre à la question " et ensuite ? ", pour tester la puissance et la fiabilité des ordinateurs, pour créer des outils réutilisables en calcul intensif de façon plus générale, comme outil fournissant des chiffres aléatoires.

jeudi 16 janvier 2014

Des maths autour du cou


Cela se passe de commentaire (mais j'ai aussi des infinis aux oreilles !).

(enseigner) La soustraction, c'est salement compliqué!

Aujourd'hui en sixième, nous effectuons une soustraction. En principe, la technique est acquise depuis plusieurs années. Mais au cas où des élèves aient oublié ou raté une étape, je préfère reprendre pour toute la classe et expliquer. Mon objectif est donc de vérifier les acquis et je ne m'attends pas à des difficultés particulières.

J'écris mon exemple :

Prof : comment la poser correctement?
Elèves : on aligne en colonne (la formulation est amusante mais nous avons tous compris) les dizaines avec les dizaines, les unités avec les unités, les dixièmes avec les dixièmes.


Bien. Voilà, donc. Mais nous nous heurtons à un problème : dans 5 dixièmes, il n'y a pas 7 dixièmes. Zut.


Prof : que faire ?
Elèves : des retenues madame, des retenues !
Bien à nouveau.
Prof : Où ça des retenues ?
Elèves : en haut et en bas. Comme ça :


Impec. 
Prof : Et alors, ensuite, je fais quoi ?
Elèves : je calcule 15 - 7.
Allons-y :


et donc, nous poursuivons, avec le placement de la virgule dans la foulée.


A ce niveau, je me dis que jusqu'ici tout va bien. Je scrute les élèves, j'essaie de deviner qui coince, qui doute, qui s'angoisse, mais je ne vois que des visages détendus et des regards attentifs.

Et là, paf :
Elève 1 : mais madame, pourquoi on met des 1 partout en fait ? Moi je le fais, hein, mais je ne sais pas pourquoi.
Elève 2 :  et madame, pourquoi il y a un 1 où vous mettez 1 et un autre où vous mettez +1?
Elève 3 : moi je ne comprends pas pourquoi on en met un en haut et l'autre en bas. C'est pas logique comme truc. Pourquoi on met pas les deux 1 en haut?

Aaaah, voilà ! Il me semblait bien que c'était trop calme.
Je dépile les questions et je commence à m'amuser :

Prof : d'abord, élève 2, j'écris 1 pour exprimer que j'ajoute une dizaine. Je passe de 5 à 15, ce qui rend possible le fait de retrancher 7.
En revanche, j'écris +1 pour faire comprendre que j'ajoute 1 au nombre considéré:


En répondant, je m'aperçoit que c'est complexe, ces histoires de 1 qui ne signifient pas la même chose.

Prof : Ensuite, élève 1, lorsque je transforme 5 en 15, c'est que je vais chercher 10 dixièmes ailleurs. Dans la colonne d'à côté, c'est ce qu'il y a de plus simple. Car une unité c'est dix dixièmes, comme nous l'avons vu au début de l'année. Je rétablis l'équilibre en effectuant deux transformations qui se compensent ; c'est juste un déplacement.

J'en arrive à la question de l'élève 3.
Et là, j'ai un moment d'angoisse. Il a raison, pourquoi n'ôte-t-on pas plutôt 1 au 2 du haut ???

Je réfléchis et un ange passe... Pourquoi n'ai-je pas souvenir de m'être posé cette question emprunte de bon sens ?
Ah, je sais, c'est tout bête. En l'écrivant je me rends compte : avec toutes les retenues en haut, des dizaines et des -1, le calcul deviendrait facilement illisible.


Cela reviendrait à effectuer ce calcul là : 


Mais nous, nous procédons ainsi, ce qui revient au même mais qui est plus lisible :



Pfiou.  Lundi, on en reparle pour voir si les élèves ont compris la nécessité des retenues et si ceux qui ont posé ces questions ont compris la réponse !

mercredi 15 janvier 2014

Manipuler, mais pas les gens.

En cinquième, nous avons travaillé sur le prisme droit. Ce n'est pas un solide très populaire, le prisme droit. Sa forme varie selon celle de sa base et il n'est pas aussi célèbre que la sphère bulle de savon, le cône chocolat pistache, le cube dé à six faces, le pavé droit cadeau de Noël ou le cylindre rouleau d'essuie-tout.

Et pourtant, il en a, de belles propriétés. Et il est moins ennuyeux puisque sa forme varie davantage.
Heureusement, une de mes éminentes collègues m'a conseillé l'année dernière un petit pliage vite réalisé qui permet aux élèves de comprendre ce qu'est un prisme droit et la diversité de ce solide.

Démonstration :




Et ça marche. Chaque élève construit son prisme, qui forcément est différent de celui du voisin, mais possède pourtant les mêmes propriétés. Comme le solide est ouvert en ses deux bases, différencier ces bases des faces latérales est tout simple. On peut réfléchir à l'aire des faces latérales, à l'aire totale, au volume, et même au patron avec sous les yeux un vrai prisme à soi.

 
                          Le travail de Melvin, de Sacha, de Justine                                 Le travail de Paul

lundi 13 janvier 2014

Latin, grec et maths.

Question d'élèves de sixième : pourquoi des préfixes latins et d'autres grecs pour les unités de mesure ?

Les élèves qui ont posé cette question savaient déjà que les préfixes du système métrique suivent un principe, du moins pour les unités "usuelles" au niveau du collège : les multiples de dix portent des préfixes grecs et les sous-multiples des préfixes latins. Exemples :

  • Déca- : du grec deka, dix. Préfixe qui signifie 10 ou "multiplié par 10".
  • Déci- : du latin decimus, dixième. Préfixe qui signifie "divisé par 10", "dixième".
  • Hecto- : du grec hekaton, cent. Préfixe qui signifie 100 ou "multiplié par 100".
  • Centi : Du latin centesimus, centième. Préfixe signifiant "divisé par 110", « centième »
Mais pourquoi ?

Plusieurs élèves ont échafaudé leur théorie :
- C'est pour nous embêter ;
- C'est parce que que l'inventeur des multiples a utilisé du latin alors l'inventeur des sous-multiples, pour se distinguer, a choisi le grec ;
- Les Latins ont inventé les uns et les Grecs ont inventé les autres.

Hé bien non. Rien de tout cela.

En fait, en 1789, chaque pays possédait ses propres unités de mesure dont les valeurs étaient différentes (comme encore maintenant avec nos mètres et les miles britanniques, par exemple). En France on trouvait même des unités différentes selon les régions. Pas très pratique !
Après quelques propositions rejetées, l'Assemblée nationale adopte en 1791, la proposition de l'Académie des sciences d'une unité fondée sur la grandeur du quart du méridien terrestre. Le mètre sera la dix millionième partie de cette grandeur. A cause de problèmes d'ordres politiques et diplomatiques, il faut attendre la toute fin du 18ème siècle pour qu'un système métrique détaillé prenne forme officiellement, avec cette fameuse répartition multiples/sous-multiples en termes d'étymologie.

Pour les unités, il s'agit d'une convention. Mais il n'y a pas que les unités qui balancent entre latin et grec :
  • Quadrilatère : du latin quatuor, quatre et latus, lateris, côté.
  • Tétraèdre : du grec tetra, quatre et hedra, face.
Allons bon.

Certains mots existent même à partir du latin et à partir du grec. A un moment donné, on a préféré l'usage de l'un ou de l'autre. Par exemple, l'équivalent d'origine grecque du mot quadrilatère est tétrapleure (quatre côtés) ou tétragone (quatre angles). Ces mots ont été employés à différentes époques.

On peut aussi noter que la jolie logique latin/grec n'a plus été respectée à la fin du vingtième siècle, avec les très sous-multiples micro, nano (En 1960, il provient du grec signifiant nain), pico (1960 également, mais, il provient de l'italien piccolo, signifiant « petit »), femto, atto (en 1964, ils proviennent des mots danois femten, signifiant « quinze » et atten, signifiant « dix-huit »), zepto (Adopté en 1991, il provient du latin septem, sept car 10 puissance -3 élevé à la puissance 7 donne 10 puissance -21) et yocto (à nouveau du grec), qui nous viennent donc d'endroits variés.